Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Видеоурок №29

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №29

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

$$\displaystyle \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}(\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta ));$$

$$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta ));$$

$$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )).$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Преобразуйте произведение в сумму:
1) $\displaystyle \cos 15^{\circ}\cos 5^{\circ};$
2) $\displaystyle 2\cos 18^{\circ}\cos 66^{\circ};$
3) $\displaystyle 2\cos \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{5};$
4) $\displaystyle 2\cos 3\alpha \cos 2\alpha ;$
5) $\displaystyle 2\cos (2\alpha+\beta ) \cos (\alpha-3\beta ) ;$
6) $\displaystyle \cos \left ( \alpha -\frac{\pi }{6} \right )\cos \left ( \frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{6} \right );$
7) $\displaystyle 2\cos \alpha \cos (\alpha +2);$
8) $\displaystyle \sin 15^{\circ}\cos 40^{\circ};$
9) $\displaystyle 2\sin \frac{\pi }{10}\cos \frac{\pi }{40};$
10) $\displaystyle \sin 6\alpha \cos 4\alpha ;$
11) $\displaystyle 2\sin 8\alpha \cos 20\alpha ;$
12) $\displaystyle \sin (\alpha -\beta )\cos (\alpha +\beta );$
13) $\displaystyle \sin 28^{\circ}\sin 24^{\circ}.$
2. Преобразуйте произведение в сумму:
1) $\displaystyle 4\sin 10^{\circ}\cos 8^{\circ}\cos 6^{\circ};$
2) $\displaystyle 4\sin 25^{\circ}\cos 15^{\circ}\sin 5^{\circ};$
3) $\displaystyle 2\cos 25^{\circ}\cos 35^{\circ}\cos 15^{\circ};$
4) $\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha +\beta ).$
3. Доказать тождество:
1) $\displaystyle 4\sin \alpha \sin (60^{\circ}-\alpha )\sin (60^{\circ}+\alpha )=\sin 3\alpha ;$
2) $\displaystyle 16\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}=1;$
3) $\displaystyle 4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \left ( 30^{\circ}-\frac{\alpha }{2} \right )\sin \left ( 60^{\circ}-\frac{\alpha }{2} \right )=\sin \frac{3\alpha }{2};$
4) $\displaystyle \cos 55^{\circ}\cos 65^{\circ}\cos 175^{\circ}=-\frac{1+\sqrt{3}}{8\sqrt{2}};$
5) $\displaystyle 8\sin 10^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}=1.$
4. Упростить выражение:
1) $\displaystyle 2\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}-\cos 20^{\circ};$
2) $\displaystyle \sin \alpha (1+2\cos 2\alpha );$
3) $\displaystyle 2\cos \alpha \cos 2\alpha -\cos 3\alpha ;$
4) $\displaystyle \cos 2\alpha +2\sin \left ( \alpha +\frac{\pi }{6} \right )\sin \left ( \alpha -\frac{\pi }{6} \right );$
5) $\displaystyle 2\sin 2\alpha \sin \alpha +\cos 3\alpha .$
5. Преобразуйте произведение в сумму:
1) $\displaystyle 8\sin 9^{\circ}\cos 4^{\circ}\cos 2^{\circ}\cos 1^{\circ};$
2) $\displaystyle 4\sin \alpha \sin 2\alpha \sin 3\alpha \sin 4\alpha .$