Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Видеоурок №26

Формулы выражения тангенса и котангенса половинного аргумента через синус и косинус целого аргумента

$\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$
$\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2};$
$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2};$
$\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\beta -\alpha }{2};$
$\displaystyle \textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta };$
$\displaystyle \textrm{tg}\alpha -\textrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta };$
$\displaystyle \textrm{ctg}\alpha +\textrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta };$
$\displaystyle \textrm{ctg}\alpha -\textrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\beta-\alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Преобразуйте в произведение:
1) $\displaystyle \cos 50^{\circ}+\cos 20^{\circ};$
2) $\displaystyle \cos 16^{\circ}-\cos 36^{\circ};$
3) $\displaystyle \sin 28^{\circ}+\sin 12^{\circ};$
4) $\displaystyle \sin 5^{\circ}-\sin 3^{\circ};$
5) $\displaystyle \cos 3\alpha +\cos 5\alpha ;$
6) $\displaystyle \displaystyle \cos \frac{\pi }{18} +\cos \frac{\pi }{18} ;$
7) $\displaystyle \cos 2\alpha -\cos 4\alpha ;$
8) $\displaystyle \sin \beta +\sin 4\beta ;$
9) $\displaystyle \textrm{tg}15^{\circ}+\textrm{tg}17^{\circ};$
10) $\displaystyle \textrm{ctg}24^{\circ}+\textrm{ctg}16^{\circ};$
11) $\displaystyle \textrm{tg}\frac{7\pi }{24}-\textrm{tg}\frac{\pi }{24};$
12) $\displaystyle \textrm{ctg}5\alpha -\textrm{ctg}\alpha.$
2. Преобразуйте в произведение:
1) $\displaystyle \sin (x+\alpha )+\sin (x-\alpha );$
2) $\displaystyle \cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta );$
3) $\displaystyle \sin \left ( 2\alpha -\frac{\pi }{6} \right )-\sin \left ( 2\alpha -\frac{\pi }{3} \right );$
4) $\displaystyle \textrm{ctg}(45^{\circ}-\alpha )-\textrm{ctg}(45^{\circ}+\alpha );$
5) $\displaystyle \textrm{tg}(x+\alpha )-\textrm{tg}(x-\alpha );$
6) $\displaystyle \sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta );$
7) $\displaystyle \sin \left ( \frac{\pi }{3}+\alpha \right )+\sin \left ( \frac{\pi }{3}-\alpha \right );$
8) $\displaystyle \cos \left ( \frac{\pi }{3}-\alpha \right )+\cos \left ( \frac{\pi }{3}-\alpha \right );$
3. Преобразуйте в произведение:
1) $\displaystyle \sin 20^{\circ}+\cos 20^{\circ};$
2) $\displaystyle \cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8};$
3) $\displaystyle \sin 25^{\circ}+\cos 55^{\circ};$
4) $\displaystyle \cos 22^{\circ}-\sin 66^{\circ};$
5) $\displaystyle \sin \frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{5};$
6) $\displaystyle \sin \frac{\pi }{5}-\cos \frac{2\pi }{5};$
7) $\displaystyle \sin \alpha -\cos \alpha ;$
8) $\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha ;$
9) $\displaystyle \textrm{tg}12^{\circ}-\textrm{ctg}40^{\circ}.$
4. Преобразуйте в произведение:
1) $\displaystyle 1-2\cos \alpha ;$
2) $\displaystyle 1+2\sin \alpha ;$
3) $\displaystyle 1-\textrm{tg} \alpha ;$
4) $\displaystyle 1+\textrm{ctg} \alpha ;$
5) $\displaystyle \sqrt{3}+2\cos \alpha ;$
6) $\displaystyle 1-\sqrt{2}\sin \alpha ;$
7) $\displaystyle \sqrt{3}+\textrm{ctg}\alpha ;$
8) $\displaystyle \sqrt{3}-2\cos \alpha ;$
9) $\displaystyle \sqrt{3}-\textrm{tg} \alpha .$