Формулы сложения. Решения упражнений. Видеоурок №16

Формулы сложения. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №16

Формулы сложения

$$\displaystyle \begin{matrix} \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ;\\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta ;\\ \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ;\\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ;\\ \textrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta }{1-\textrm{tg}\alpha\textrm{tg}\beta};\\ \textrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\textrm{tg}\alpha -\textrm{tg}\beta }{1+\textrm{tg}\alpha\textrm{tg}\beta};\\ \textrm{ctg}(\alpha +\beta )=\frac{\textrm{ctg}\alpha \textrm{ctg}\beta-1 }{\textrm{ctg}\alpha+\textrm{ctg}\beta};\\ \textrm{ctg}(\alpha -\beta )=\frac{\textrm{ctg}\alpha \textrm{ctg}\beta+1 }{\textrm{ctg}\beta-\textrm{ctg}\alpha};\\ \end{matrix}$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}^{2}\alpha -\textrm{tg}^{2}\beta }{1-\textrm{tg}^{2}\alpha \textrm{tg}^{2}\beta }=\textrm{tg}(\alpha +\beta )\textrm{tg}(\alpha -\beta );$
2) $\displaystyle \textrm{ctg}(45^{\circ}+\alpha )+\frac{1-\textrm{ctg}\alpha }{1+\textrm{ctg}\alpha}=0;$
3) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \textrm{tg}\beta +(\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta )\cdot \textrm{ctg}(\alpha +\beta )=1;$
4) $\displaystyle \textrm{tg}(\alpha +\beta )-(\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta )-\textrm{tg}(\alpha +\beta )\textrm{tg}\alpha \textrm{tg}\beta =0;$
5) $\displaystyle \frac{(1-\textrm{tg}\alpha )\cos (45^{\circ}-\alpha )}{1+\textrm{tg}\alpha }=\cos (45^{\circ}+\alpha );$
6) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta +\textrm{tg}\alpha \textrm{tg}\beta \textrm{tg}(\alpha +\beta )}{\textrm{tg}(\alpha +\beta )}=1;$
7) $\displaystyle \frac{3\textrm{ctg}^{2}15^{\circ}-1}{3-\textrm{ctg}^{2}15^{\circ}}=\textrm{ctg}15^{\circ}.$
2. Пользуясь формулами сложения, найти:
1) $\sin 15^{\circ};$
2) $\textrm{tg} 15^{\circ};$
3) $\cos 75^{\circ};$
4) $\sin 75^{\circ};$
5) $\textrm{ctg} 105^{\circ};$
6) $\cos 105^{\circ};$
7) $\sin 105^{\circ};$
3. Дано: $\sin \alpha =0,6,\: \sin \beta =-0,28,\: 0^{\circ}<\alpha <90^{\circ},\: 180^{\circ}<\beta <270^{\circ}$. Найти $\cos (\alpha -\beta )$.

4. Дано: $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =-3\frac{5}{16},\: tg\beta =\frac{33}{56},\: 90^{\circ}<\alpha <180^{\circ},\: 0^{\circ}<\beta <180^{\circ}.$ Найти $\cos (\alpha +\beta )$.

5. Дано: $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{7}}{3},\: 180^{\circ}<\alpha <270^{\circ}.$ Найти $\displaystyle \cos (30^{\circ}-\alpha )$.

6. Дано: $\displaystyle \sin \alpha =0,8,\: \sin \beta =0,96,\: 0^{\circ}<\alpha <90^{\circ},\: 0^{\circ}<\beta <90^{\circ}.$ Найти $\displaystyle \sin (\alpha -\beta ).$

7. Дано: $\displaystyle \sin \alpha =\frac{9}{41},\: 90^{\circ}<\alpha <180^{\circ}.$ Найти $\displaystyle \sin (\alpha +45^{\circ}).$

8. Синусы двух острых углов треугольника равны соответственно $\displaystyle \frac{20}{29}$ и $\displaystyle \frac{3}{25}$. Найдите косинус внешнего угла треугольника, смежного с третьим углом.

9. Косинусы двух углов треугольника равны соответственно $\displaystyle \frac{12}{13}$ и $\displaystyle \frac{20}{101}$. Найдите синус третьего угла.