Уравнение f(x) = φ(x) называется алгебраическим, если f(x), φ(х) — алгебраические функции. К алгебраическим функциям относятся, например, целые рациональные функции (многочлены), дробно-рациональные функции (отношение двух многочленов), иррациональные функции.
Примеры алгебраических уравнений: 2х+5=1, х²-х-1=0,
Уравнение f(x) = φ(x) называется рациональным, если f(x) и ф(х) — многочлены.
Уравнение f(x) = φ(х) называется дробно-рациональным, если f(x) и φ(х) — рациональные функции, причем хотя бы одна из них дробно-рациональная относительно переменной х.
Уравнение f(x) = φ(x) называется иррациональным, если f(x) и φ(х) — элементарные алгебраические функции и хотя бы одна из них иррациональная относительно переменной х.
Уравнение f(x) = φ(х) называется элементарным трансцендентным, если f(x) и φ(х) — элементарные функции и хотя бы одна из них трансцендентная относительно переменной х.
Замечание. Можно дать другое определение иррационального уравнения, а именно: это такое уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.
Примеры алгебраических уравнений различного вида:
1) х-7 = 2, х² - х = 0, х³ - 3 = 0 — рациональные уравнения с одним неизвестным;
2) х²-у² = х-у — рациональное уравнение с двумя неизвестными;
3)
— дробно-рациональные уравнения;
4)
— иррациональное уравнение;
5)
— трансцендентные уравнения.
