Корень n-й степени из действительного числа
Действительное число х называется корнем n-й степени из действительного числа а, если
Корень n-й степени обозначается символом
Согласно определению
Число а называется подкоренным числом или подкоренным выражением, n — показателем корня. Если n = 2, то вместо
пишут
и называют это выражение квадратным корнем.
называют кубическим корнем. Вместо термина «корень» употребляют термин «радикал».
Пример.
так как
Действие, посредством которого отыскивается корень n-й степени, называется извлечением корня n-й степени.
Корень четной степени извлекается только из неотрицательного числа, то есть если a < 0, то
не существует. Например, выражения
не имеют смысла в области действительных чисел. Корень нечетной степени извлекается
и из отрицательного числа. Например,
Для корней нечетной степени
Для корней четной степени это свойство не выполняется, т. е.
(оно выполняетсятолько для a = 0). Таким образом,
существует при a≥0.
существует для любого аєR.
Чтобы устранить двузначность корня n-й степени из действительного числа a, вводится понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем называется неотрицательный корень n-й степени из неотрицательного числа. Для корней четной степени условились брать только арифметический корень.
Таким образом, можем записать:
Ошибочно записывать
Замечание. Иногда арифметическим корнем называют неотрицательный корень четной степени из неотрицательного числа.
Основные свойства корней (правила действий с радикалами)
Замечание 1. Приведенные выше свойства 1)—6) справедливы для если рассматривать корни четной степени. Свойства 7)—8) справедливы для любого аєR.
Если же рассматривать корни нечетной степени, то эти свойства 1)—8) справедливы для аєR, bєR .
Замечание 2. Формулы 1)—5) часто применяются в обратном порядке, т. е. справа налево. Например:
