Неравенства с модулем

Неравенства с модулем
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля функции:

$\left|f(x) \right|=\left\{\begin{matrix} f(x), f(x)\geq 0,\\ -f(x), f(x)<0. \end{matrix}\right.$

Можно также пользоваться свойствами модуля, в частности такими как

$\left|f(x) \right|\geq 0;\; \left | f(x)\cdot g(x) \right |=\left | f(x) \right |\cdot \left | g(x) \right |;\; \left | f(x) \right |^{2}=\left ( f(x) \right )^{2};\; \left | \frac{f(x)}{g(x)} \right |=\frac{\left | f(x) \right |}{\left | g(x) \right |};$

$\left|-f(x) \right|=\left | f(x) \right |;\; \left | f(x) \right |>\left | g(x) \right |\Leftrightarrow \left ( f(x) \right )^{2}>\left ( g(x) \right )^{2}.$

(аналогичные свойства для неравенств имеют место, если в последней равносильности будет знак

$<,\: \leq ,\: \geq$ ). Иногда используется геометрическая интерпретация модуля, согласно которой

$\left|x-a \right|$ есть расстояние на числовой прямой между точками

$x$ и

$a$ . Неравенство вида

$\left|f(x) \right|<a\Leftrightarrow -a<f(x)<a$ , если

$a>0$ , если

$a<0$ , то неравенство

$\left|f(x) \right|<a$ решений не имеет. Неравенство вида

$\left|f(x) \right|>a \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} f(x)>a,\\ f(x)<-a, \end{matrix} \right.$ если

$a<0$ , то решением неравенства

$\left|f(x) \right|>a$ будет множество допустимых значений функции

$f(x)$ ; если

$a=0$ , то решением неравенства

$\left|f(x) \right|>a$ будет множество тех

$x$ , для которых

$f(x)\neq 0$ .
При решении неравенств, содержащих более одного модуля, применяют метод интервалов для модулей.
Пример 1. Решить неравенство

$\left | x+2 \right |\leq 5.$
Решение.
1 способ.
Поскольку

$\left|f(x) \right|\leq a\Leftrightarrow -a\leq f(x)\leq a$ при

$a\geq 0$ , то получаем

$\left|x+2 \right|\leq 5\Leftrightarrow -5\leq x+2\leq 5\Leftrightarrow -5-2\leq x\leq 5-2\Leftrightarrow -7\leq x\leq 3\Leftrightarrow x\in \left [ -7;3 \right ].$

2 способ.
Возведя обе части исходного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство

$\left ( x+2 \right )^{2}\leq 5\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )^{2}-5^{2}\leq 0 \Leftrightarrow \left ( x+2-5 \right )\left ( x+2+5 \right )\leq 0 \Leftrightarrow \left ( x-3 \right )\left ( x+7 \right )\leq 0 \Leftrightarrow -7\leq x\leq 3$

(последнюю равносильность можно получить, используя, например, метод интервалов).
3 способ.
Используем определение модуля

$\left | x+2 \right |=\left\{\begin{matrix} x+2,\; x+2\geq 0,\\ -(x+2),\; x+2<0. \end{matrix}\right.$ Отсюда исходное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

$\left\{\begin{matrix} x+2\geq 0,\\ x+2\leq 5; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2<0,\\ -(x+2)\leq 5. \end{matrix}\right.$

Из первой системы получаем

$-2\leq x\leq 3$ , из второй системы

$-7\leq x\leq -2$ . Отсюда искомое решение будет объединением решений 1 и 2 систем, т. е.

$x\in \left [ -2;3 \right ]\bigcup \left [ -7;-2 \right )=\left [ -7;3 \right ].$ Ответ:

$x\in \left [ -7;3 \right ].$
Пример 2. Решить неравенство

$\left | 3x-2 \right |>-2$ .
Решение. Поскольку

$\left | 3x-2 \right |>-2$ , то исходное неравенство выполняется для любого действительного

$x$ , т. е.

$x\in \left ( -\infty ;+\infty \right )$ .
Ответ:

$x\in \left ( -\infty ;+\infty \right )$ .
Пример 3. Решить неравенство

$\left | 3x-2 \right |>7.$
Решение.
1 способ. Поскольку при

$a>0$

$\left|f(x) \right|>a\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} f(x)>a,\\ f(x)<-a, \end{matrix} \right.$ ,то имеем:

$\left | 3x-2 \right |>7\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} 3x-2>7,\\ 3x-2<-7 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x>3,\\ x<-\frac{5}{3} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty ;-\frac{5}{3} \right )\bigcup \left ( 3;+\infty \right ).$