Примеры решения неравенств с модулем

Примеры решения неравенств с модулем
Пример 5. Решить неравенство \left | 2x-4 \right |<x-1.

Решение.
1 способ. Исходное неравенство можно заменить совокупностью двух систем:

\left\{\begin{matrix} 2x-4\geq 0,\\ 2x-4<x-1; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4<0,\\ -(2x-4)<x-1. \end{matrix}\right.

Из первой системы получаем 2\leq x<3 из второй системы — \frac{5}{3}\leq x<2 . Искомое решение будет объединением решений первой и второй систем, т. е.  x\in \left ( \frac{5}{3};2 \right ) \bigcup \left [ 2;3 \right )\Leftrightarrow x\in \left ( \frac{5}{3};3 \right ).
2 способ.

\left | 2x-4 \right |<x-1 \Leftrightarrow -\left ( x-1 \right )<2x-4<x-1\Leftrightarrow -x+1<2x-4<x-1\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4>-x+1,\\ 2x-4<x-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x>5,\\ x<3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>\frac{5}{3},\\ x<3. \end{matrix}\right.

Ответ:  x\in \left ( \frac{5}{3};3 \right ).
Пример 6. Решить неравенство x^{2}>\left | 5x+6 \right |.
Решение. Поскольку  \left | 5x+6 \right |=\left\{\begin{matrix} 5x+6,\; x\geq -\frac{6}{5}\\ -5x-6,\; x<-\frac{6}{5} \end{matrix}\right. то исходное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

a)\; \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{6}{5},\\ x^{2}>5x+6; \end{matrix}\right.\; \; b)\; \left\{\begin{matrix} x<-\frac{6}{5},\\ x^{2}>-5x-6. \end{matrix}\right.


Решим эти две системы неравенств а) и b):

a)\; \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{6}{5},\\ x^{2}-5x-6>0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{6}{5},\\ x<-1;\: x>6; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -\frac{6}{5}\leq x<-1;\; x>6.


a)\; \left\{\begin{matrix} x< -\frac{6}{5},\\ x^{2}+5x+6>0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -\frac{6}{5},\\ x<-3;\: x>-2; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x<-3;\; -2<x<-\frac{6}{5}.

Объединяя решения, полученные для систем а) и b), получаем окончательный ответ.

Ответ:  x\in (-\infty ;-3)\bigcup \left [ -\frac{6}{5};-1 \right )\bigcup \left ( 6;+\infty \right )=(-\infty ;-3)\bigcup (-2;-1)\bigcup (6;+\infty ).

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: