Рассмотрим вначале тригонометрические функции острого угла, которые можно ввести с помощью прямоугольного треугольника (рис. 1).
Пусть в прямоугольном треугольнике :
(отношение противолежащего катета к гипотенузе).
(отношение прилежащего катета к гипотенузе).
(отношение противолежащего катета к прилежащему).
(отношение прилежащего катета к противолежащему).
Из последних двух равенств следует, что .
Рассмотрим тригонометрические функции произвольных значений аргумента.
Имеем прямоугольную систему координат хОу на плоскости и круг единичного радиуса, имеющий центр в начале координат (рис. 2). Такой круг называется единичным кругом или тригонометрическим кругом.
Отметим на оси Ох справа от начала координат точку , лежащую на тригонометрическом круге: . Радиус называется начальным радиусом. При повороте начального радиуса около центра O на угол точка переходит в некоторую точку .
Синусом угла называется отношение ординаты точки к радиусу.
Косинусом угла называется отношение абсциссы точки к радиусу.
Таким образом, . Поскольку R=l, то . x и y можно рассматривать как проекции на оси координат единичного вектора . Таким образом, можно утверждать, что синус угла а равен ординате, а косинус — абсциссе вектора единичной длины, исходящего из начала координат и образующего с положительным направлением оси Ох угол . Так как координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению , то . Соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к ее абсциссе:
.
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ее ординате:
.
Прямая (рис. 3) называется осью тангенсов.
Каждому углу можно поставить в соответствие точку Т на оси тангенсов, являющуюся точкой пересечения конечной стороны угла (или ее продолжения) с осью тангенсов (рис. 4).
Тангенс угла равен ординате соответствующей точки Т на оси тангенсов.
Прямая (рис. 5) называется осью котангенсов.
Каждому углу можно поставить в соответствие точку на оси котангенсов, являющуюся точкой пересечения конечной стороны угла (или ее продолжения) с осью котангенсов (рис. 6).
Котангенс угла равен абсциссе соответствующей точки на оси котангенсов.
Знаки тригонометрических функций в различных четвертях (квадрантах) даны на рис. 7.
Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов, которые наиболее часто используются на практике (табл. 1).
Таблица 1
Символ (бесконечность) означает, что или при соответствующих значениях аргумента не определены и принимают сколь угодно большие значения по модулю.
Секансом угла (обозначение ) называется величина, обратная , т. е. .
Косекансом угла (обозначение ) называется величина, обратная , т.е. .