Определение тригонометрических функций

Рассмотрим вначале тригонометрические функции острого угла, которые можно ввести с помощью прямоугольного треугольника (рис. 1).
Пусть в прямоугольном треугольнике $ACB$:

$$\angle ACB=90^{\circ},\; \angle BAC=\alpha ,\; \left | BC \right |=a,\; \left | AC \right |=b,\; \left | AB \right |=c.$$

$sin\alpha =\frac{\left | BC \right |}{\left | AB \right |}=\frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

$cos\alpha =\frac{\left | AC \right |}{\left | AB \right |}=\frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
$tg\alpha =\frac{\left | BC \right |}{\left | AC \right |}=\frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).
$ctg\alpha =\frac{\left | AC \right |}{\left | BC \right |}=\frac{b}{a}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Из последних двух равенств следует, что $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },\; ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$.
Рассмотрим тригонометрические функции произвольных значений аргумента.
Имеем прямоугольную систему координат хОу на плоскости и круг единичного радиуса, имеющий центр в начале координат (рис. 2). Такой круг называется единичным кругом или тригонометрическим кругом.

Отметим на оси Ох справа от начала координат точку $M_{0}$, лежащую на тригонометрическом круге: $M_{0}(1;0)$. Радиус $OM_{0}$ называется начальным радиусом. При повороте начального радиуса $OM_{0}$ около центра O на угол $\alpha$ точка $M_{0}(1;0)$ переходит в некоторую точку $M_{\alpha }(x;y)$.
Синусом угла $\alpha$ называется отношение ординаты точки $M_{\alpha }$ к радиусу.
Косинусом угла $\alpha$ называется отношение абсциссы точки $M_{\alpha }$ к радиусу.
Таким образом, $sin\alpha =\frac{y}{R},\; cos\alpha =\frac{x}{R}$. Поскольку R=l, то $sin\alpha =y,\; cos\alpha =x$. x и y можно рассматривать как проекции на оси координат единичного вектора $\vec{OM_{\alpha }}(x;y)$. Таким образом, можно утверждать, что синус угла а равен ординате, а косинус — абсциссе вектора единичной длины, исходящего из начала координат и образующего с положительным направлением оси Ох угол $\alpha$. Так как координаты любой точки $M_{\alpha }(x;y)$ единичной окружности удовлетворяют уравнению $x^{2}+y^{2}=1$, то $cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1$. Соотношение $cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1$ называется основным тригонометрическим тождеством.
Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение ординаты точки $M_{\alpha }$ к ее абсциссе:
$tg\alpha =\frac{y}{x}=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$.
Котангенсом угла $\alpha$ называется отношение абсциссы точки $M_{\alpha }$ к ее ординате:
$ctg\alpha =\frac{x}{y}=\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$.
Прямая $x=1$ (рис. 3) называется осью тангенсов.

Каждому углу $\alpha \neq 90^{\circ}+180^{\circ}\cdot n\; (n\in Z)$ можно поставить в соответствие точку Т на оси тангенсов, являющуюся точкой пересечения конечной стороны угла $\alpha$ (или ее продолжения) с осью тангенсов (рис. 4).

Тангенс угла $\alpha$ равен ординате соответствующей точки Т на оси тангенсов.
Прямая $y=1$ (рис. 5) называется осью котангенсов.

Каждому углу $\alpha \neq 180^{\circ}\cdot n\; (n\in Z)$ можно поставить в соответствие точку $K$ на оси котангенсов, являющуюся точкой пересечения конечной стороны угла (или ее продолжения) с осью котангенсов (рис. 6).

Котангенс угла $\alpha$ равен абсциссе соответствующей точки $K$ на оси котангенсов.

Знаки тригонометрических функций $sin\alpha ,\; cos\alpha ,\; tg\alpha ,\; ctg\alpha$ в различных четвертях (квадрантах) даны на рис. 7.

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов, которые наиболее часто используются на практике (табл. 1).
Таблица 1

Символ $\infty$ (бесконечность) означает, что $tg\alpha$ или $ctg\alpha$ при соответствующих значениях аргумента не определены и принимают сколь угодно большие значения по модулю.
Секансом угла $\alpha$ (обозначение $sec\alpha$) называется величина, обратная $cos\alpha$, т. е. $sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha },\; cos\alpha \neq 0$.
Косекансом угла $\alpha$ (обозначение $cosec\alpha$) называется величина, обратная $sin\alpha$, т.е. $cosec\alpha =\frac{1}{sin\alpha },\; sin\alpha \neq 0$.