Определение тригонометрических функций

Рассмотрим вначале тригонометрические функции острого угла, которые можно ввести с помощью прямоугольного треугольника (рис. 1).
Пусть в прямоугольном треугольнике ACB :

\angle ACB=90^{\circ},\; \angle BAC=\alpha ,\; \left | BC \right |=a,\; \left | AC \right |=b,\; \left | AB \right |=c.


sin\alpha =\frac{\left | BC \right |}{\left | AB \right |}=\frac{a}{c} (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

ris5

Рис.1

cos\alpha =\frac{\left | AC \right |}{\left | AB \right |}=\frac{b}{c} (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
tg\alpha =\frac{\left | BC \right |}{\left | AC \right |}=\frac{a}{b} (отношение противолежащего катета к прилежащему).
ctg\alpha =\frac{\left | AC \right |}{\left | BC \right |}=\frac{b}{a} (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Из последних двух равенств следует, что tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },\; ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha } .
Рассмотрим тригонометрические функции произвольных значений аргумента.
Имеем прямоугольную систему координат хОу на плоскости и круг единичного радиуса, имеющий центр в начале координат (рис. 2). Такой круг называется единичным кругом или тригонометрическим кругом.
ris6

Рис.2

Отметим на оси Ох справа от начала координат точку M_{0} , лежащую на тригонометрическом круге: M_{0}(1;0) . Радиус OM_{0} называется начальным радиусом. При повороте начального радиуса OM_{0} около центра O на угол \alpha точка M_{0}(1;0) переходит в некоторую точку M_{\alpha }(x;y) .
Синусом угла \alpha называется отношение ординаты точки M_{\alpha } к радиусу.
Косинусом угла \alpha называется отношение абсциссы точки M_{\alpha } к радиусу.
Таким образом, sin\alpha =\frac{y}{R},\; cos\alpha =\frac{x}{R} . Поскольку R=l, то sin\alpha =y,\; cos\alpha =x . x и y можно рассматривать как проекции на оси координат единичного вектора \vec{OM_{\alpha }}(x;y) . Таким образом, можно утверждать, что синус угла а равен ординате, а косинус — абсциссе вектора единичной длины, исходящего из начала координат и образующего с положительным направлением оси Ох угол \alpha . Так как координаты любой точки M_{\alpha }(x;y) единичной окружности удовлетворяют уравнению x^{2}+y^{2}=1 , то cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1 . Соотношение cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =1 называется основным тригонометрическим тождеством.
Тангенсом угла \alpha называется отношение ординаты точки M_{\alpha } к ее абсциссе:
tg\alpha =\frac{y}{x}=\frac{sin\alpha }{cos\alpha } .
Котангенсом угла \alpha называется отношение абсциссы точки M_{\alpha } к ее ординате:

ctg\alpha =\frac{x}{y}=\frac{cos\alpha }{sin\alpha } .
Прямая x=1 (рис. 3) называется осью тангенсов.
ris7

Рис.3

Каждому углу \alpha \neq 90^{\circ}+180^{\circ}\cdot n\; (n\in Z) можно поставить в соответствие точку Т на оси тангенсов, являющуюся точкой пересечения конечной стороны угла \alpha (или ее продолжения) с осью тангенсов (рис. 4).
ris8

Рис.4

Тангенс угла \alpha равен ординате соответствующей точки Т на оси тангенсов.
Прямая y=1 (рис. 5) называется осью котангенсов.
ris9

Рис.5

Каждому углу \alpha \neq 180^{\circ}\cdot n\; (n\in Z) можно поставить в соответствие точку K на оси котангенсов, являющуюся точкой пересечения конечной стороны угла (или ее продолжения) с осью котангенсов (рис. 6).
ris10

Рис.6

Котангенс угла \alpha равен абсциссе соответствующей точки K на оси котангенсов.

Знаки тригонометрических функций sin\alpha ,\; cos\alpha ,\; tg\alpha ,\; ctg\alpha в различных четвертях (квадрантах) даны на рис. 7.
ris11

Рис.7

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов, которые наиболее часто используются на практике (табл. 1).
Таблица 1
ris12

Символ \infty (бесконечность) означает, что tg\alpha или ctg\alpha при соответствующих значениях аргумента не определены и принимают сколь угодно большие значения по модулю.
Секансом угла \alpha (обозначение sec\alpha ) называется величина, обратная cos\alpha , т. е. sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha },\; cos\alpha \neq 0 .
Косекансом угла \alpha (обозначение cosec\alpha ) называется величина, обратная sin\alpha , т.е. cosec\alpha =\frac{1}{sin\alpha },\; sin\alpha \neq 0 .

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: