Сложение и вычитание рациональных дробей. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональных дробей в степень

Сложение и вычитание рациональных дробей

Сумма (разность) двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме (разности) числителей исходных дробей:

Пример 1.

Пример 2.

x≠y.
При сложении (или вычитании) рациональных дробей с разными знаменателями нужно привести дроби к общему знаменателю и выполнить сложение (или вычитание) дробей с общим знаменателем:

где m — дополнительный множитель для первой дроби, n — дополнительный множитель для
второй дроби, S — общий знаменатель.
Замечание. Приведенные правила справедливы для любого конечного числа дробей.
Пример 3.

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Ответ:

Произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Это правило распространяется на произведение любого конечного числа дробей.
Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Если дробь умножается или делится не на дробь, а на многочлен R(x), то указанные выше правила остаются в силе, но многочлен R(x) необходимо представить в виде

На практике при умножении или делении рациональных дробей обычно предварительно разлагают на множители числители и знаменатели исходных дробей (если это возможно).
Пример 1. Упростить выражение