Решение тригонометрических уравнений с помощью формул понижения степени. Видеоурок №46

Тригонометрические уравнения, которые решают с помощью формул понижения степени. Как решать тригонометрические уравнения. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №46
В этом видеоуроке рассмотрены уравнения, при решении которых используются следующие формулы:

$$\displaystyle \cos ^{2}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2};\: \sin ^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}.$$

Пример 1. Решить уравнение $\displaystyle \sin ^{2}x +\sin ^{2}2x+\sin ^{2}3x=1,5$.
Решение.

$$\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=\frac{3}{2};$$

$$\displaystyle \cos 4x+(\cos 2x+\cos 6x)=0;\: \cos 4x+2\cos 4x\cos 2x=0;$$

$\displaystyle 2\cos 4x\left ( \cos 2x+\frac{1}{2} \right )=0.$ Получим совокупность
$\displaystyle \left[\begin{matrix} \cos 4x=0,\\ \cos 2x=-\frac{1}{2},\\ \end{matrix}\right.$
Отсюда
$\displaystyle \left[\begin{matrix} x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4},\, k\in \mathbb{Z},\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\, n\in \mathbb{Z}.\\ \end{matrix}\right.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \sin ^{2}\frac{2}{3}x=\frac{3}{4};$
2) $\displaystyle \cos ^{2}\frac{3}{2}x=\frac{1}{4};$
3) $\displaystyle \cos ^{2}x+3\sin ^{2}x=2;$
4) $\displaystyle \sin ^{2}\frac{x}{2}+\sin ^{2}\frac{3x}{2}=1;$
5) $\displaystyle 2\sin^{2} x+\cos 4x=0;$
6) $\displaystyle 2\sin ^{2}\frac{x}{2}+\cos 2x=0;$
7) $\displaystyle \cos ^{2}x+\cos ^{2}2x+\cos ^{2}3x=1,5;$
8) $\displaystyle 4\cos ^{2}\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )+4\sin ^{2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )=5;$
9) $\displaystyle 1-2\sin ^{2}8x=\sin 4x.$
2. Решить уравнение:
1) $\displaystyle 4\sin ^{4}x+\cos 4x=1+12\cos ^{4}x;$
2) $\displaystyle \sin ^{4}x+\sin ^{4}\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{4};$
3) $\displaystyle \sin ^{4}x+\sin ^{4}\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+\sin ^{4}\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=0,5.$