Решение однородных тригонометрических уравнений. Видеоурок №45

Однородные тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №45
Что такое однородное тригонометрическое уравнение?
Определение. Уравнения вида

$$\displaystyle a_{0}\sin ^{n}x+a_{1}\sin ^{n-1}x\cos x+...+a_{n-1}\sin x\cos ^{n-1}x+a_{n}\cos ^{n}x=0$$

где $\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}$ — действительные числа, $\displaystyle a_{0}\neq 0,\: n\in \mathbb{N}$, называются однородными тригонометрическими уравнениями $n$-й степени относительно $\sin x$ и $\cos x$. Сумма показателей степеней при $\sin x$ и $\cos x$ у всех слагаемых такого уравнения равна $n$.
Заметим, что $\cos x$ не может быть равен нулю, так как при $\cos x=0$ исходное уравнение примет вид: $\displaystyle a_{0}\sin^{n} x=0$, откуда $\sin x=0$, что невозможно, поскольку $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю.
Разделив исходное уравнение на $\displaystyle \cos^{n} x$, получим:

$$\displaystyle a_{0}\textrm{tg}^{n}x+a_{1}\textrm{tg}^{n-1}x+...+a_{n-1}\textrm{tg}x+a_{n}=0.$$

Теперь, сделав замену $\textrm{tg}x=t$, получаем алгебраическое уравнение: $a_{0}t^{n}+a_{1}t^{n-1}+...+a_{n-1}t+a_{n}=0.$
В видеоуроке рассматриваются методы решения однородных тригонометрических уравнений.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Решить уравнение:
1) $\sin x+\cos x=0;$
2) $\sqrt{3}\sin x-\cos x=0;$
3) $3\sin x=2\cos x;$
4) $\cos (x+30^{\circ})-\sin (x+30^{\circ})=0.$
2. Решить уравнение:
1) $\sin ^{2}x-5\sin x\cos x+6\cos ^{2}x=0;$
2) $\displaystyle 2\sin ^{2}x+3\sin x\cos x+\cos ^{2}x=0;$
3) $\displaystyle \sin ^{2}\frac{x}{2}-3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+2\cos ^{2}\frac{x}{2}=0;$
4) $\displaystyle 3\sin ^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos ^{2}x=0;$
5) $\displaystyle \sin ^{2}x+3\cos^{2}x-2\sin 2x=0;$
6) $\displaystyle 6\sin ^{2}x-7\sin 2x+8\cos^{2}x=0.$
3. Решить уравнение:
1) $\displaystyle 3\sin ^{2}x-7\sin x\cos x+14\cos ^{2}x-2=0;$
2) $\displaystyle 5\cos ^{2}x-3\sin^{2} x -\sin2x=2;$
3) $\displaystyle 22\cos ^{2}x+4\sin2x=7;$
4) $\displaystyle 2\cos ^{2}x+\sin2x-2=0.$
4. Решить уравнение:
1) $\displaystyle 2\cos ^{2}x+\frac{5}{4}\sin ^{2}2x+\sin ^{4}x+\cos 2x=0;$
2) $\displaystyle \sin ^{3}x=\sin x+\cos x;$
3) $\displaystyle \sin ^{3}2x+\cos ^{3}2x-\sin 2x=0.$
5. Решить уравнение:
1) $\displaystyle 2\sin x-3\cos x=3;$
2) $\displaystyle 3\sin \frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=3.$