Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью замены переменной. Видеоурок №44

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной. Как решать тригонометрические уравнения. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №44
Пример 1. Решить уравнение $\displaystyle 2\cos ^{2}x-5\cos x+2=0$.

Решение. Сделаем замену: $\cos x=t$. Тогда уравнение примет вид: $2t^{2}-5t+2=0$. $\displaystyle t_{1}=2$ — не подходит, так как $\left | \cos x \right |\leq 1$.
$\displaystyle t_{2}=\frac{1}{2};\: \cos x=\frac{1}{2};\: x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}.$

Ответ: $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\: k\in \mathbb{Z}.$

Пример 2. Решить уравнение $\displaystyle 8\cos ^{2}x+6\sin x-3=0.$

Решение. $\displaystyle 8(1-\sin ^{2}x)+6\sin x-3=0;\: 8\sin ^{2}x-6\sin x-5=0.$
Пусть $\sin x=t$. Запишем $\displaystyle 8t^{2}-6t-5=0;$. $\displaystyle t_{1}=\frac{5}{4}$ - не подходит, так как $\left | \sin x \right |\leq 1$. $t_{2}=-0,5$, отсюда $\sin x=-0,5$.
$\displaystyle x=(-1)^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,\, k\in \mathbb{Z}.$

Ответ: $\displaystyle (-1)^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k,\, k\in \mathbb{Z}.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \sin ^{2}3x-3\sin 3x+2=0;$
2) $\displaystyle \cos ^{2}2x+\cos 2x-6=0;$
3) $\displaystyle 6\cos ^{2}x+5\sin x-7=0;$
4) $\displaystyle \sin x+2\cos ^{2}x=1;$
5) $\displaystyle 2\cos ^{2}3x+\sin 3x-1=0;$
6) $\displaystyle \textrm{tg}^{2}\,x-2 \textrm{tg}\, x-3=0;$
7) $\displaystyle 2\textrm{tg}^{4}\,3x-3 \textrm{tg}^{2}\, 3x+1=0;$
8) $\displaystyle 3\textrm{ctg}^{2}\,2x+ \textrm{ctg}\, 2x-4=0;$
9) $\displaystyle 5\sin \frac{x}{6}-\cos \frac{x}{3}+3=0;$
10) $\displaystyle 2\cos x-\cos 2x-\cos ^{2}x=0.$
2. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \sqrt{3}\textrm{tg}\, x+3=\frac{3}{\cos ^{2}x};$
2) $\displaystyle -\textrm{tg}^{2}\, (2\pi -x)+\frac{5}{\cos ^{2}(\pi +x)}-17=0;$
3) $\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2}x}=\textrm{ctg}\, x+3.$
3. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \textrm{tg}\, 2x+\textrm{ctg}\, 2x=2;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}^{2}\, x+3\textrm{ctg}^{2}\, x=4.$
4. Решить уравнение:
1) $\displaystyle \textrm{tg}^{4}\, x+\textrm{ctg}^{4}\, x+\textrm{tg}^{2}\, x+\textrm{ctg}^{2}\, x=4;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}^{3}\, x+\textrm{tg}^{2}\, x+\textrm{ctg}^{2}\, x+\textrm{ctg}^{3}\, x=4;$