Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Видеоурок №9

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №9
Имеют место следующие соотношения:
1) $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1;$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha};$
3) $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha};$
4) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha =1\: \Rightarrow \: \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{\textrm{ctg}\alpha};\: \textrm{ctg}\alpha=\frac{1}{\textrm{tg}\alpha};$
5) $\displaystyle 1+\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha };$
6) $\displaystyle 1+\textrm{ctg}^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha }.$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
Упростить выражение:
1) $\displaystyle \left ( 1+\sin \frac{x}{2} \right )\left ( 1-\sin \frac{x}{2} \right );$
2) $\displaystyle \left ( \frac{1}{\cos \alpha}+\textrm{tg}\alpha \right )\left ( \frac{1}{\cos \alpha}-\textrm{tg}\alpha \right )$;
3) $\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}\alpha }-\textrm{tg}^{2}\alpha (\cos ^{2}\alpha +1);$
4) $\displaystyle (1+\sin ^{2}\beta )\textrm{ctg}^{2}\beta -\frac{1}{\sin ^{2}\beta };$
5) $\displaystyle \frac{\cos ^{2}\frac{\pi \alpha }{2}}{\sin \frac{\pi \alpha }{2}-1};$
6) $\displaystyle (\sin \alpha +\cos \alpha )^{2}+(\sin \alpha -\cos \alpha )^{2};$
7) $\displaystyle (\textrm{tg}\beta +\textrm{ctg}\beta)^{2}-(\textrm{tg}\beta -\textrm{ctg}\beta)^{2};$
8) $\displaystyle (1+\textrm{ctg}\beta )^{2}+(1-\textrm{ctg}\beta )^{2};$
9) $\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha (\textrm{tg}^{2}\alpha +\textrm{ctg}^{2}\alpha+2);$
10) $\displaystyle \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }+\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha };$
11) $\displaystyle \textrm{ctg}x+\frac{\sin x}{1+\cos x};$
12) $\displaystyle \frac{1-\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{1+\sin x};$
13) $\displaystyle \frac{1}{1+\sin \alpha }+\textrm{tg}\alpha ;$
14) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta }{\textrm{ctg}\alpha +\textrm{ctg}\beta }.$