Решение задач на формулу полной вероятности. Часть 1

Задача №1. Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 35% общего количества электроламп, второй - 50% и третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80% и третьего - 90%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что
а) наудачу взятая лампа изготовлена на первом заводе и является стандартной;
б) купленная в магазине лампа является стандартной?


Решение. Рассмотрим события:
B_{1} - наудачу взятая лампа изготовлена первым заводом;
B_{2} - наудачу взятая лампа изготовлена вторым заводом;
B_{3} - наудачу взятая лампа изготовлена третьим заводом;
C_{1} - наудачу взятая лампа изготовлена на первом заводе и является стандартной;
A - купленная в магазине лампа является стандартной.
Следует учитывать, что первая гипотеза - событие B_{1} , заключается в том, что лампа, взятая наудачу из общего количества ламп, изготовленных первым заводом, может быть любого качества, т. е. быть как стандартной, так и нестандартной. Аналогичный смысл имеют две другие гипотезы - события B_{2} и B_{3} .
Вероятности событий B_{1} , B_{2} и B_{3} согласно формуле (1) равны: P(B_{1})=0,35;\; P(B_{2})=0,5;\; P(B_{3})=0,15. События B_{1} , B_{2} и B_{3} - несовместные и составляют полную группу, сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,35 + 0,5 + 0,15 = 1.
Из условия следует, что P_{B_{1}}(A)=0,7,\; P_{B_{2}}(A)=0,8,\; P_{B_{3}}(A)=0,9.
а) Событие C_{1} состоит в том, что наудачу взятая лампа, во-первых, изготовлена первым заводом, и, во-вторых, является стандартной. Это означает, что событие C_{1} представляет собой произведение двух зависимых событий B_{1} и A : C_{1}=B_{1}\cdot A . Вероятность события C_{1} найдем по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Применив формулу (5), получим:

P(C_{1})=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)=0,35\cdot 0,7=0,245.


б) Событие A представляет собой сумму следующих трех несовместных событий:
C_{1} - лампа изготовлена на первом заводе и она стандартная;
C_{2} - лампа изготовлена на втором заводе и она стандартная;
C_{3} - лампа изготовлена на третьем заводе и она стандартная.
Каждое из событий C_{i} (i = 1,2,3) представляет собой произведение двух зависимых событий B_{i} и A .
Таким образом, A=B_{1}\cdot A+B_{2}\cdot A+B_{3}\cdot A. Применив формулу (1), получим

\begin{matrix} P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)= \\ =0,35\cdot 0,7+0,5\cdot 0,8+0,15\cdot 0,9=0,245+0,4+0,135=0,78. \end{matrix}


Задача №2. На сборку поступают однотипные изделия из трех цехов. Вероятности изготовления бракованного изделия первым, вторым и третьим цехами соответственно равны 0,03; 0,01 и 0,02. Все поступившие на сборку изделия складывают вместе. Из первого цеха поступает в три раза больше изделий, чем из второго, а из третьего в два раза меньше, чем из второго. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется бракованным?
Решение. Рассмотрим события:
B_{1} - взятое изделие поступило из первого цеха;
B_{2} - взятое изделие поступило из второго цеха;
B_{3} - взятое изделие поступило из третьего цеха;
A - взятое изделие является бракованным.
Первая гипотеза - событие B_{1} , заключается в том, что наудачу взятое изделие, поступившее из первого цеха, может быть любого качества - как бракованным, так и стандартным. Аналогичный смысл имеют две другие гипотезы - события B_{2} и B_{3} .
Количество изделий, поступающих на сборку из первого, второго и третьего цехов, определяется соответственно из отношений: 6:2:1. Учитывая эти отношения, найдем вероятности событий B_{1} , B_{2} и B_{3} :

P(B_{1})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3};\; P(B_{2})=\frac{2}{9};\; P(B_{3})=\frac{1}{9}.


События B_{1} , B_{2} и B_{3} составляют полную группу несовместных событий; сумма вероятностей этих событий равна 1. Событие A может наступить или вместе с событием B_{1} , или с событием B_{2} или с событием B_{3} . Условная вероятность события A , вычисленная при условии, что оно произойдет вместе с событием B_{1} равна P_{B_{1}}(A)=0,03. Условные вероятности события A , вычисленные при условиях, что оно произойдет вместе с событиями B_{2} и B_{3} соответственно равны: P_{B_{2}}(A)=0,01;\; P_{B_{3}}(A)=0,02.
Вероятность события A найдем по формуле (1) при n=3:

\begin{matrix} P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)= \\ =\frac{6}{9}\cdot 0,03+\frac{2}{9}\cdot 0,01+\frac{1}{9}\cdot 0,02=\frac{0,22}{9}\approx 0,0244. \end{matrix}\

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: