Решение задач на формулу полной вероятности. Часть 1

Задача №1. Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 35% общего количества электроламп, второй - 50% и третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80% и третьего - 90%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что
а) наудачу взятая лампа изготовлена на первом заводе и является стандартной;
б) купленная в магазине лампа является стандартной?
Решение. Рассмотрим события:
$B_{1}$ - наудачу взятая лампа изготовлена первым заводом;
$B_{2}$ - наудачу взятая лампа изготовлена вторым заводом;
$B_{3}$ - наудачу взятая лампа изготовлена третьим заводом;
$C_{1}$ - наудачу взятая лампа изготовлена на первом заводе и является стандартной;
$A$ - купленная в магазине лампа является стандартной.
Следует учитывать, что первая гипотеза - событие $B_{1}$, заключается в том, что лампа, взятая наудачу из общего количества ламп, изготовленных первым заводом, может быть любого качества, т. е. быть как стандартной, так и нестандартной. Аналогичный смысл имеют две другие гипотезы - события $B_{2}$ и $B_{3}$.
Вероятности событий $B_{1}$, $B_{2}$ и $B_{3}$ согласно формуле (1) равны: $P(B_{1})=0,35;\; P(B_{2})=0,5;\; P(B_{3})=0,15.$ События $B_{1}$, $B_{2}$ и $B_{3}$ - несовместные и составляют полную группу, сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,35 + 0,5 + 0,15 = 1.
Из условия следует, что $P_{B_{1}}(A)=0,7,\; P_{B_{2}}(A)=0,8,\; P_{B_{3}}(A)=0,9.$
а) Событие $C_{1}$ состоит в том, что наудачу взятая лампа, во-первых, изготовлена первым заводом, и, во-вторых, является стандартной. Это означает, что событие $C_{1}$ представляет собой произведение двух зависимых событий $B_{1}$ и $A$: $C_{1}=B_{1}\cdot A$. Вероятность события $C_{1}$ найдем по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Применив формулу (5), получим:

$$P(C_{1})=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)=0,35\cdot 0,7=0,245.$$

б) Событие $A$ представляет собой сумму следующих трех несовместных событий:
$C_{1}$ - лампа изготовлена на первом заводе и она стандартная;
$C_{2}$ - лампа изготовлена на втором заводе и она стандартная;
$C_{3}$ - лампа изготовлена на третьем заводе и она стандартная.
Каждое из событий $C_{i}$ (i = 1,2,3) представляет собой произведение двух зависимых событий $B_{i}$ и $A$.
Таким образом, $A=B_{1}\cdot A+B_{2}\cdot A+B_{3}\cdot A.$ Применив формулу (1), получим

$$\begin{matrix} P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)= \\ =0,35\cdot 0,7+0,5\cdot 0,8+0,15\cdot 0,9=0,245+0,4+0,135=0,78. \end{matrix}$$

Задача №2. На сборку поступают однотипные изделия из трех цехов. Вероятности изготовления бракованного изделия первым, вторым и третьим цехами соответственно равны 0,03; 0,01 и 0,02. Все поступившие на сборку изделия складывают вместе. Из первого цеха поступает в три раза больше изделий, чем из второго, а из третьего в два раза меньше, чем из второго. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется бракованным?
Решение. Рассмотрим события:
$B_{1}$ - взятое изделие поступило из первого цеха;
$B_{2}$ - взятое изделие поступило из второго цеха;
$B_{3}$ - взятое изделие поступило из третьего цеха;
$A$ - взятое изделие является бракованным.
Первая гипотеза - событие $B_{1}$, заключается в том, что наудачу взятое изделие, поступившее из первого цеха, может быть любого качества - как бракованным, так и стандартным. Аналогичный смысл имеют две другие гипотезы - события $B_{2}$ и $B_{3}$.
Количество изделий, поступающих на сборку из первого, второго и третьего цехов, определяется соответственно из отношений: 6:2:1. Учитывая эти отношения, найдем вероятности событий $B_{1}$, $B_{2}$ и $B_{3}$:

$$P(B_{1})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3};\; P(B_{2})=\frac{2}{9};\; P(B_{3})=\frac{1}{9}.$$

События $B_{1}$, $B_{2}$ и $B_{3}$ составляют полную группу несовместных событий; сумма вероятностей этих событий равна 1. Событие $A$ может наступить или вместе с событием $B_{1}$, или с событием $B_{2}$ или с событием $B_{3}$. Условная вероятность события $A$, вычисленная при условии, что оно произойдет вместе с событием $B_{1}$ равна $P_{B_{1}}(A)=0,03.$ Условные вероятности события $A$, вычисленные при условиях, что оно произойдет вместе с событиями $B_{2}$ и $B_{3}$ соответственно равны: $P_{B_{2}}(A)=0,01;\; P_{B_{3}}(A)=0,02.$
Вероятность события $A$ найдем по формуле (1) при n=3:

$$\begin{matrix} P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+P(B_{3})P_{B_{3}}(A)= \\ =\frac{6}{9}\cdot 0,03+\frac{2}{9}\cdot 0,01+\frac{1}{9}\cdot 0,02=\frac{0,22}{9}\approx 0,0244. \end{matrix}\$$