Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 6

Задача №1. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной дефектной детали среди четырех проверяемых. Какова вероятность того, что данная партия не будет принята, если она содержит 3% дефектных деталей?
Решение. а) Обозначим события:
$A_{i}$ - проверяемая деталь является дефектной (i = 1,2,3,4);
$\bar{A}_{i}$ - проверяемая деталь не является дефектной;
$A$ - партия деталей не будет принята (встретится хотя бы одна дефектная деталь среди четырех проверяемых);
$\bar{A}$ - партия деталей будет принята (не встретится ни одной дефектной детали среди четырех проверяемых).
Событие $\bar{A}$ состоит в совместном наступлении всех событий $\bar{A}_{i}$, поэтому $\bar{A}=\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}}\bar{A_{4}}$. События $\bar{A}_{i}$ - зависимые; вероятность события $A$ найдем по теореме умножения вероятностей нескольких зависимых событий:
$P(\bar{A})=P(\bar{A_{1}})\cdot P_{\bar{A_{1}}}(\bar{A_{2}})\cdot P_{\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}}(\bar{A_{3}})\cdot P_{\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}}}(\bar{A_{4}})=\frac{97}{100}\cdot \frac{96}{99}\cdot \frac{95}{98}\cdot \frac{94}{97}\approx 0,8836.$
Искомая вероятность события $A$ равна
$P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{97\cdot 96\cdot 95\cdot 94}{100\cdot 99\cdot 98\cdot 97}\approx 0,1164.$
Задача №2. На садовом участке посажены три дерева: вишня, слива и яблоня. Вероятность того, что приживется вишня, равна 0,7; для сливы и для яблони вероятности прижиться соответственно равны 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что
а) приживутся ровно два дерева;
б) приживутся не менее двух деревьев;
в) приживется хотя бы одно дерево.
Решение. Рассмотрим события:
$A_{1}$ - приживется вишня;
$A_{2}$ - приживется слива;
$A_{3}$ - приживется яблоня;
$\bar{A_{1}}$ - вишня не приживется;
$\bar{A_{2}}$ - слива не приживется;
$\bar{A_{3}}$ - яблоня не приживется;
$A$ - приживутся ровно 2 дерева;
$B$ - приживутся не менее двух деревьев;
$C$ - приживется хотя бы одно дерево.
Вероятности событий $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$ равны:
$p(A_{1})=p_{1}=0,7;\; p(A_{2})=p_{2}=0,8;\; p(A_{3})=p_{3}=0,9.$
События $\bar{A_{1}}$, $\bar{A_{2}}$ и $\bar{A_{3}}$ противоположны событиям $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$; их вероятности равны

$$P(\bar{A_{1}})=q_{1}=1-p_{1}=0,3;\; P(\bar{A_{2}})=q_{2}=1-p_{2}=0,2;\; P(\bar{A_{3}})=q_{3}=1-p_{3}=0,1.$$

$A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$ - совместные события. Для решения задачи надо рассмотреть события, которые представляют собой различные несовместные варианты осуществления событий $A$, $B$ и $C$.
а) Событие $A$ произойдет, если осуществится один из следующих трех несовместных вариантов: вишня и слива приживутся, а яблоня - нет; вишня и яблоня приживутся, а слива - нет; слива и яблоня приживутся, а вишня - нет. Каждый из этих вариантов представляет собой соответственно произведения $A_{1}A_{2}\bar{A_{3}},\; A_{1}\bar{A_{2}}A_{3},\; \bar{A_{1}}A_{2}A_{3}$.
Обозначим: $D_{1}=A_{1}A_{2}\bar{A_{3}},\; D_{2}=A_{1}\bar{A_{2}}A_{3},\; D_{3}=\bar{A_{1}}A_{2}A_{3}$.
Событие $A$ представляет собой сумму со6ытий $D_{1}$, $D_{2}$ и $D_{3}$: $A=D_{1}+D_{2}+D_{3}$.
Таким образом,

$$A=A_{1}A_{2}\bar{A_{3}}+ A_{1}\bar{A_{2}}A_{3}+ \bar{A_{1}}A_{2}A_{3}.$$

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

$$P(A)=P(A_{1}A_{2}\bar{A_{3}})+P( A_{1}\bar{A_{2}}A_{3})+P( \bar{A_{1}}A_{2}A_{3}).\; \; \; (*)$$

События $A_{1}$, $A_{2}$ и $A_{3}$ - независимые, поэтому каждое слагаемое в равенстве (*) найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий. Применив формулу (8), получим

$$P(A_{1}A_{2}\bar{A_{3}})=p_{1}p_{2}q_{3},\; P( A_{1}\bar{A_{2}}A_{3})=p_{1}q_{2}p_{3},\; P( \bar{A_{1}}A_{2}A_{3})=q_{1}p_{2}p_{3}.$$

Подставив эти вероятности в равенство (*), найдем

$$P(A)=p_{1}p_{2}q_{3}+p_{1}q_{2}p_{3}+q_{1}p_{2}p_{3}=0,7\cdot 0.8\cdot 0,1+0,7\cdot 0,2\cdot 0,9+0,3\cdot 0,8\cdot 0,9=0,398$$

б) Событие $B$ состоит в том, что приживутся или два (безразлично, какие) дерева (т. е. произойдет событие $A$) или приживутся все три дерева. На основании рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в пункте а), получим: $B=A+A_{1}A_{2}A_{3}$;

$$P(B)=P(A)+p_{1}p_{2}p_{3}=0,398+0,7\cdot 0,8\cdot 0,9=0,902.$$

в) Событию $C$ противоположно событие $\bar{C}$ не приживется ни одного дерева. Вероятность события $C$ равна

$$P(C)=1-P(\bar{C})=1-q_{1}q_{2}q_{3}=1-0,3\cdot 0,2\cdot 0,1=0,994.$$

Задача №3. Пусть $A_{1},A_{2},...,A_{i},...,A_{n}$ - n независимых в совокупности событий. Вероятности наступления каждого из событий $A_{i}$ равны $p_{i}$ ($i=1,2,...,n$). Пусть в результате испытания могут наступить все либо события, либо какие-то из них, либо может не наступить ни одного из них. Найти вероятность наступления хотя бы одного из событий $A_{i}$, если вероятности $p_{i}$: а) различны; б) равны между собой.
Решение. Помимо данных n независимых событий $A_{i}$ рассмотрим противоположные им события $\bar{A_{i}}$, а также следующие:
$A$ - наступление хотя бы одного из событий $A_{i}$;
$\bar{A}$ - ненаступление ни одного из событий $A_{i}$.
Так как $P(A_{i})=p_{i}$, то $P(\bar{A_{i}})=1-p_{i}=q_{i}.$
Событие $\bar{A}$ состоит в совместном наступлении и события $\bar{A_{1}}$, и события $\bar{A_{2}}$,... и события $\bar{A_{n}}$, т. е. равно произведению этих событий: $\bar{A}=\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}...\bar{A_{n}}$. Событие $\bar{A}$ противоположно событию $A$, поэтому $P(A)=1-P(\bar{A})$.
а) По теореме умножения вероятностей независимых событий найдем

$$P(\bar{A})=q_{1}q_{2}...q_{n}.$$

Таким образом,

$$P(A)=1-q_{1}q_{2}...q_{n}.\; \; \; (*)$$

б) Так как $P(A_{1})=P(A_{2})=...=P(A_{n})=p,$ то
$P(\bar{A_{1}})=P(\bar{A_{2}})=...=P(\bar{A_{n}})=1-p=q.$
По теореме умножения вероятностей независимых событий найдем $P(\bar{A})=q^{n}$.
Таким образом,

$$P(A)=1-q^{n}.\; \; \; (**)$$

Задача №4. Вероятность установления в некоторой местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,2. Какова вероятность того, что в ближайшие два года в этой местности устойчивый снежный покров с октября
а) не установится ни разу;
б) установится по крайней мере один раз?
Решение. Обозначим события:
$A_{1}$ - устойчивый снежный покров с октября установится в первый год;
$A_{2}$ - устойчивый снежный покров с октября установится во второй год;
$\bar{A_{1}}$ - устойчивый снежный покров с октября не установится в первый год;
$\bar{A_{2}}$ - устойчивый снежный покров с октября не установится во второй год.
$B$ - устойчивый снежный покров в ближайшие д ва года с октября не установится ни разу;
$A$ - устойчивый снежный покров в ближайшие два года с октября установится по крайней мере один раз.
Вероятности событий $A_{1}$ и $A_{2}$ равны: $P(A_{1})=P(A_{2})=p=0,2$. Вероятности противоположных событий $\bar{A_{1}}$ и $\bar{A_{2}}$ равны:
$P(\bar{A_{1}})=P(\bar{A_{2}})=1-p=q=0,8$.
а) Событие $B$ состоит в совместном наступлении событий $\bar{A_{1}}$ и $\bar{A_{2}}$, поэтому $B=\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}$. События $\bar{A_{1}}$ и $\bar{A_{2}}$ - независимые; вероятность события $B$ найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:

$$P(B)=P(\bar{A_{1}})\cdot P(\bar{A_{2}})=q^{2}=0,64.$$

б) Вероятность события $A$ найдем по формуле (**) из задачи 3 при n=2:

$$P(A)=1-q^{2}=0,36.$$