Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 7

Задача №1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Какова вероятность того, что ему придется набрать номер не более, чем три раза?
Решение. Обозначим событие:
$C$ - абоненту придется набрать номер не более, чем три раза.
Это событие состоит в том, что абоненту придется набрать номер или один, или два, или три раза. Рассмотрим следующие события:
$C_{1}$ - абонент будет набирать номер один раз;
$C_{2}$ - абонент будет набирать номер два раза;
$C_{3}$ - абонент будет набирать номер три раза;
$\bar{C_{1}}$ - в первый раз не набрана нужная цифра;
$A$ - во второй раз набрана нужная цифра;
$\bar{A}$ - во второй раз не набрана нужная цифра;
$B$ - в третий раз набрана нужная цифра.
Событие $C$ представляет собой сумму несовместных событий $C_{1}$, $C_{2}$ и $C_{3}$: $C$ = $C_{1}$ + $C_{2}$ + $C_{3}$. Вероятность события $C_{1}$ согласно формуле (1) равна $P(C_{1})$ = 1/10.
Событие $C_{2}$ состоит в том, что в первый раз нужная цифра не набрана, а во второй - набрана. Это означает, что $C_{2}$ представляет собой произведение событий $\bar{C_{1}}$ и $A$: $C_{2}=\bar{C_{1}}\cdot A$. Вероятность события $\bar{C_{1}}$ равна $P(\bar{C_{1}})=9/10$. Событие $A$ является зависимым от события $\bar{C_{1}}$; условная вероятность $P_{\bar{C_{1}}}(A)=1/9$. Вероятность события $C_{2}$ найдем по теореме
умножения вероятностей зависимых событий, применив формулу (5), получим: $P(C_{2})=P(\bar{C_{1}})P_{\bar{C_{1}}}(A)=\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{10}$.
Событие $C_{3}$ состоит в том, что и в первый, и во второй раз нужная цифра не набрана, а в третий раз - набрана. Это означает, что $C_{3}$ представляет собой произведение зависимых событий $\bar{C_{1}}$, $\bar{A}$ и $B$: $C_{3}=\bar{C_{1}}\cdot \bar{A}\cdot B$. Условная веpoятнocть $P_{\bar{C_{1}}}(A)=8/9$; условная вероятность
$P_{\bar{C_{1}\cdot A}}(B)=1/8$. Вероятность наступления события $C_{3}$ найдем по теореме
умножения вероятностей зависимых событий. Применив формулу (7), получим:
$P(C_{3})=P(\bar{C_{1}})\cdot P_{\bar{C_{1}}}(\bar{A})\cdot P_{\bar{C_{1}\cdot \bar{A}}}(B)=\frac{9}{10}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{10}$.
Искомую вероятность события $C$ найдем по теореме сложения вероятностей несовместных событий. Согласно формуле (9) эта вероятность равна

$$P(C)=P(C_{1})+P(C_{2})+P(C_{3})=0,1+0,1+0,1=0,3.$$

Задача №2. В настольной игре забивают в лунку шарики. Вероятность того, что из четырех шариков ребенок забьет в лунку хотя бы один, равна 0,9919. Какова вероятность забить в лунку каждый из шариков в отдельности, ecли принять, что для всех попыток вероятность забить в лунку шарик одна и та же?
Решение. Рассмотрим события:
$A_{k}$ - попадание в лунку k-го шарика (k = 1,2,3,4);
$\bar{A_{k}}$ - непопадание в лунку k -го шарика;
$B$ - попадание в лунку хотя бы одного шарика из четырех;
$\bar{B}$ - непопадание в лунку ни одного шарика из четырех.
По условию $P(B)=0,9919$. Требуется найти $P(A_{k})$ принимая, что $P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=P(A_{4})$. Обозначим: $P(A_{k})=p,\; P(\bar{A_{k}})=1-p=q.$
Событие $\bar{B}$ представляет собой произведение четырех независимых событий $\bar{A_{k}}$: $\bar{B}=\bar{A_{1}}\cdot \bar{A_{2}}\cdot \bar{A_{3}}\cdot \bar{A_{4}}.$
По теореме умножения вероятностей независимых событий получим: $P(\bar{B})=q^{4}$.
Вероятность события $B$ равна $P(B)=1-P(\bar{B})=1-q^{4}.$ Следовательно, $1-q^{4}=0,9919.$ Из последнего уравнения найдем $q$ = 0,3. По известному значению $q$ найдем $P(A_{k})=p=1-q=0,7.$