Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 7

Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 7

Задача №1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Какова вероятность того, что ему придется набрать номер не более, чем три раза?
Решение. Обозначим событие:
C - абоненту придется набрать номер не более, чем три раза.
Это событие состоит в том, что абоненту придется набрать номер или один, или два, или три раза. Рассмотрим следующие события:
C_{1} - абонент будет набирать номер один раз;
C_{2} - абонент будет набирать номер два раза;
C_{3} - абонент будет набирать номер три раза;
\bar{C_{1}} - в первый раз не набрана нужная цифра;
A - во второй раз набрана нужная цифра;
\bar{A} - во второй раз не набрана нужная цифра;
B - в третий раз набрана нужная цифра.
Событие C представляет собой сумму несовместных событий C_{1}, C_{2} и C_{3}: C = C_{1} + C_{2} + C_{3}. Вероятность события C_{1} согласно формуле (1) равна P(C_{1}) = 1/10.
Событие C_{2} состоит в том, что в первый раз нужная цифра не набрана, а во второй - набрана. Это означает, что C_{2} представляет собой произведение событий \bar{C_{1}} и A: C_{2}=\bar{C_{1}}\cdot A. Вероятность события \bar{C_{1}} равна P(\bar{C_{1}})=9/10. Событие A является зависимым от события \bar{C_{1}}; условная вероятность P_{\bar{C_{1}}}(A)=1/9. Вероятность события C_{2} найдем по теореме
умножения вероятностей зависимых событий, применив формулу (5), получим: P(C_{2})=P(\bar{C_{1}})P_{\bar{C_{1}}}(A)=\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{10}.
Событие C_{3} состоит в том, что и в первый, и во второй раз нужная цифра не набрана, а в третий раз - набрана. Это означает, что C_{3} представляет собой произведение зависимых событий \bar{C_{1}}, \bar{A} и B: C_{3}=\bar{C_{1}}\cdot \bar{A}\cdot B. Условная веpoятнocть P_{\bar{C_{1}}}(A)=8/9; условная вероятность
P_{\bar{C_{1}\cdot A}}(B)=1/8. Вероятность наступления события C_{3} найдем по теореме
умножения вероятностей зависимых событий. Применив формулу (7), получим:
P(C_{3})=P(\bar{C_{1}})\cdot P_{\bar{C_{1}}}(\bar{A})\cdot P_{\bar{C_{1}\cdot \bar{A}}}(B)=\frac{9}{10}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{10}.
Искомую вероятность события C найдем по теореме сложения вероятностей несовместных событий. Согласно формуле (9) эта вероятность равна

P(C)=P(C_{1})+P(C_{2})+P(C_{3})=0,1+0,1+0,1=0,3.


Задача №2. В настольной игре забивают в лунку шарики. Вероятность того, что из четырех шариков ребенок забьет в лунку хотя бы один, равна 0,9919. Какова вероятность забить в лунку каждый из шариков в отдельности, ecли принять, что для всех попыток вероятность забить в лунку шарик одна и та же?
Решение. Рассмотрим события:
A_{k} - попадание в лунку k-го шарика (k = 1,2,3,4);
\bar{A_{k}} - непопадание в лунку k -го шарика;
B - попадание в лунку хотя бы одного шарика из четырех;
\bar{B} - непопадание в лунку ни одного шарика из четырех.
По условию P(B)=0,9919. Требуется найти P(A_{k}) принимая, что P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=P(A_{4}). Обозначим: P(A_{k})=p,\; P(\bar{A_{k}})=1-p=q.
Событие \bar{B} представляет собой произведение четырех независимых событий \bar{A_{k}}: \bar{B}=\bar{A_{1}}\cdot \bar{A_{2}}\cdot \bar{A_{3}}\cdot \bar{A_{4}}.
По теореме умножения вероятностей независимых событий получим: P(\bar{B})=q^{4}.
Вероятность события B равна P(B)=1-P(\bar{B})=1-q^{4}. Следовательно, 1-q^{4}=0,9919. Из последнего уравнения найдем q = 0,3. По известному значению q найдем P(A_{k})=p=1-q=0,7.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

10 − восемь =