Формулы понижения степени. Видеоурок №23

Формулы понижения степени. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №23

Формулы понижения степени

$$\displaystyle \sin ^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\Leftrightarrow 1-\cos 2\alpha =2\sin ^{2}\alpha ;$$

$$\displaystyle \cos ^{2}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\Leftrightarrow 1+\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha ;$$

$$\displaystyle \textrm{tg} ^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha };$$

$$\displaystyle \sin ^{3}\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4};$$

$$\displaystyle \cos ^{3}\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}.$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha (1+\cos 2\alpha )=\sin 2\alpha;$
2) $\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{\sin ^{2}\alpha }=2;$
3) $\displaystyle 1+2\cos 2\alpha +\cos 4\alpha =4\cos ^{2}\alpha \cos 2\alpha ;$
4) $\displaystyle 1-2\cos 3\alpha +\cos 6\alpha =-4\sin ^{2}\frac{3\alpha }{2}\cos 3\alpha ;$
5) $\displaystyle \frac{1-\cos \alpha +\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha -\sin \alpha }=\textrm{ctg}\alpha ;$
6) $\displaystyle \frac{1-\sin (30^{\circ}-\alpha )}{1+\sin (30^{\circ}+\alpha }=\textrm{tg}^{2}\left ( 30^{\circ}+\frac{\alpha }{2} \right );$
7) $\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \frac{\alpha }{2}}{1+\cos \alpha +\cos \frac{\alpha }{2}}=\textrm{tg}\frac{\alpha }{2};$
2. Доказать тождество:
1) $\displaystyle 3+4\sin \left ( 4\alpha +\frac{3\pi }{2} \right )+\sin \left ( 8\alpha +\frac{5\pi }{2} \right )=8\sin ^{4}2\alpha ;$
2) $\displaystyle \frac{3+4\cos \alpha +\cos 2\alpha }{3-4\cos \alpha +\cos 2\alpha }=\textrm{ctg}^{4}\frac{\alpha }{2};$
3) $\displaystyle \frac{\cos ^{2}(4\alpha -3\pi )-4\cos ^{2}(2\alpha-\pi ) +3}{\cos ^{2}(4\alpha +3\pi )+4\cos ^{2}(2\alpha+\pi ) -1}=\textrm{tg}^{4}2\alpha .$

3. Дано: $\displaystyle \sin 2\alpha =\frac{120}{169},\: 0^{\circ}<\alpha <225^{\circ}$. Найти $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.

4. Дано: $\cos \alpha=\frac{161}{289},\: 0^{\circ}<\alpha <90^{\circ}.$ Найти $\displaystyle \sin \frac{\alpha }{2},\cos \frac{\alpha }{2},\textrm{tg}\frac{\alpha }{2}$.

5. Дано: $\displaystyle \textrm{ctg}\alpha =-2,4,\: 270^{\circ}<\alpha <360^{\circ}$. Найти $\textrm{tg}\frac{\alpha }{2}$.

6. Дано: $\displaystyle \cos \alpha =-\frac{1}{3},\: \frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{\pi }{3}.$ Найти $\displaystyle \sin \frac{3\alpha }{2}$ и $\displaystyle \cos \frac{3\alpha }{2}$.

7. Дано: $\displaystyle \sin 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2},\: 135^{\circ}<\alpha <180^{\circ}$. Найти $\sin \alpha$.