Формулы понижения степени. Видеоурок №24

Формулы понижения степени. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №24

Формулы понижения степени

$$\displaystyle \sin ^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\Leftrightarrow 1-\cos 2\alpha =2\sin ^{2}\alpha ;$$

$$\displaystyle \cos ^{2}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\Leftrightarrow 1+\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha ;$$

$$\displaystyle \textrm{tg} ^{2}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha };$$

$$\displaystyle \sin ^{3}\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4};$$

$$\displaystyle \cos ^{3}\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}.$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Пользуясь формулами понижения степени, найти:
1) $\displaystyle \sin 15^{\circ}$;

2) $\displaystyle \cos 15^{\circ}$;

3) $\displaystyle \textrm{tg} 75^{\circ}$;

4) $\displaystyle \cos 75^{\circ}$;

5) $\displaystyle \textrm{tg} 112^{\circ}30'$;

6) $\displaystyle \textrm{tg} \frac{\pi }{8}$.
2. Упростить выражение:
1) $\displaystyle \sqrt{2(1+\cos 2\alpha )},$ если $\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

2) $\displaystyle \sqrt{0,5-0,5\cos 4\alpha },$ если $\displaystyle \frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{\pi }{2}$;

3) $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin \alpha };$

4) $\displaystyle \sqrt{0,5-0,5\sqrt{0,5+0,5\cos \alpha }};$

5) $\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sqrt{1-\cos 2\alpha }}-\frac{\sin \alpha }{\sqrt{1+\cos 2\alpha }},$ если $0^{\circ}<\alpha <90^{\circ}$;

6) $\displaystyle 4\cos ^{2}\left ( 45^{\circ}-\frac{\alpha }{2} \right )+\sqrt{4\sin ^{4}\alpha +\sin ^{2}2\alpha },$ если $180^{\circ}<\alpha <270^{\circ};$

7) $\sqrt{1+\sin \varphi }-\sqrt{1-\sin \varphi },$ если $\displaystyle \frac{\pi }{2}<\varphi <\pi ;$

8) $\displaystyle \sqrt{\frac{2\sin \alpha +\sin 2\alpha }{2\sin \alpha -\sin 2\alpha }}-\sqrt{\frac{2\sin \alpha -\sin 2\alpha }{2\sin \alpha +\sin 2\alpha }}\textrm{tg}\alpha +2,$ если $\displaystyle \frac{\pi }{2}<\varphi <\pi .$

3. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha =\frac{3}{32}\sin 2\alpha -\frac{1}{32}\sin 6\alpha ;$

2) $\displaystyle \sin ^{3}\alpha +\sin ^{3}\left ( \frac{2\pi }{3}+\alpha \right )+\sin ^{3}\left ( \frac{4\pi }{3}+\alpha \right )=-\frac{3}{4}\sin 3\alpha .$