Формулы приведения. Решения упражнений. Видеоурок №14

Формулы приведения. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №14
Обратим внимание на закономерности в формулах приведения: функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол $\alpha$ является углом I четверти; для углов $\pi \pm \alpha ,\: 2\pi \pm \alpha ,\: 3\pi \pm \alpha ,...$ название исходной функции сохраняется; для углов $\displaystyle \frac{\pi}{2} \pm \alpha ,\: \frac{3\pi}{2} \pm \alpha ,\: \frac{5\pi}{2} \pm \alpha ,...$ название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). В частности, если $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\displaystyle \alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$, то $\displaystyle \sin \alpha =\cos \beta, \: \textrm{tg}\alpha =\textrm{ctg}\beta$.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Вычислить:
1) $\displaystyle \frac{\sin ^{2}315^{\circ} \cos 300^{\circ}+\textrm{tg}(-315^{\circ})}{\sin (-120^{\circ})\cos 150^{\circ}};$
2) $\displaystyle \frac{6\cos ^{2}(-240^{\circ})\textrm{ctg}210^{\circ}}{\sin (-300^{\circ})\cos ^{2}180^{\circ}};$
3) $\displaystyle \sin 225^{\circ}\cos 120^{\circ}\textrm{tg}300^{\circ}\textrm{ctg}240^{\circ};$
4) $\displaystyle 3\textrm{ctg}135^{\circ}+2\cos 120^{\circ}+\textrm{tg}420^{\circ}+2\sin 330^{\circ};$
5) $\displaystyle \sin \frac{7\pi }{4}\cos \frac{7\pi }{6}\textrm{tg}\frac{5\pi }{3}\textrm{ctg}\frac{4\pi }{3};$
6) $\displaystyle \sin \left ( -\frac{11\pi }{6} \right )\cos \left ( -\frac{13\pi }{6} \right )\textrm{tg}\left ( -\frac{5\pi }{4} \right )\textrm{ctg}\left ( -\frac{5\pi }{3} \right );$
7) $\displaystyle \textrm{tg}1290^{\circ}+\cos 1470^{\circ}+\cos 1590^{\circ}.$

2. Вычислить:
1) $\displaystyle \textrm{ctg}5^{\circ}\textrm{ctg}15^{\circ}\textrm{ctg}25^{\circ}\cdot ...\cdot \textrm{ctg}75^{\circ}\textrm{ctg}85^{\circ};$
2) $\displaystyle (\sin 10^{\circ}+\sin 20^{\circ}+\sin 30^{\circ}+\sin 40^{\circ})-(\cos 50^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cos 70^{\circ}+\cos 80^{\circ});$
3) $\displaystyle \textrm{tg}20^{\circ}+\textrm{tg}40^{\circ}+\textrm{tg}60^{\circ}+...+\textrm{tg}160^{\circ}+\textrm{tg}180^{\circ};$
4) $\displaystyle \sin 0^{\circ}+\sin 1^{\circ}+\sin 2^{\circ}+...+\sin 359^{\circ}+\sin 360^{\circ};$
5) $\displaystyle \textrm{ctg}15^{\circ}+\textrm{ctg}30^{\circ}+\textrm{ctg}45^{\circ}+...+\textrm{ctg}165^{\circ}.$

3. Упростить выражение:
1) $\displaystyle \sin ^{2}\left ( \frac{\pi }{4}-\alpha \right )+\sin ^{2}\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )+\sin \left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )\cdot \cos \left ( \frac{\pi }{2}+\alpha \right )\cdot \textrm{tg}(\pi +\alpha );$
2) $\displaystyle \frac{\cos ^{2}\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )}{\textrm{tg}^{2}\left ( \frac{\pi }{4}-\alpha \right )}+\sin ^{2}\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )\textrm{tg}^{2}\left ( \frac{\pi }{4}-\alpha \right );$
3) $\displaystyle \sin ^{2}\left ( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right )(\textrm{tg}^{2}\alpha -1)\textrm{ctg}\left ( \alpha -\frac{5\pi }{4} \right )\sin ^{-2}\left ( \frac{5\pi }{4}+\alpha \right );$
4) $\displaystyle \frac{\cos ^{2}(20^{\circ}-\alpha )}{\sin ^{2}(70^{\circ}+\alpha )}+\textrm{tg}(\alpha +10^{\circ})\textrm{ctg}(80^{\circ}-\alpha ).$

4. Известно, что $\alpha ,\beta ,\gamma$ - углы треугольника. Докажите, что:
1) $\sin (\alpha +\beta )=\sin \gamma ;$
2) $\cos \gamma =-\cos (\alpha +\beta ).$