Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Видеоурок №34

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Видеоурок №34

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №34
Определение 1. Функция y=f(x) называется обратимой, если для любого y_{0}\in E(f) найдется единственное x_{0}\in D(f) такое, что y_{0}=f(x_{0}).
Иначе: функция f называется обратимой, если она принимает каждое свое значение ровно один раз.
Определение 2. Функция y=f(x) называется обратимой на множестве M, если для любых x_{1}\in M и x_{2}\in M, x_{1}\neq x_{2},\; f(x_{1})\neq f(x_{2}).
Теорема (достаточное условие обратимости). Если функция f возрастает (убывает) на множестве M, то она обратима на этом множестве.

Определение (описательное). Пусть y=f(x) — обратимая функция. Для каждого x из области определения найдем соответствующее значение y функции. Рассмотрим множество упорядоченных пар вида (x;y), т.е. (x;f(x)). Множество первых компонентов пар — это область определения функции, множество вторых компонентов — это область значений функции. Среди этих пар нет таких, у которых равны первые компоненты, потому что f — функция. Среди этих пар нет и таких, у которых равны вторые компоненты, потому что f — обратимая функция. Поменяем местами компоненты пар, получим множество пар вида (y;x) с неравными первыми компонентами. Тогда это множество, в свою очередь, задает функцию. Эту функцию будем называть обратной данной. Также вновь построенную функцию и данную будем называть взаимно обратными.
Итак, чтобы из данной обратимой функции f получить обратную ей, надо поменять местами компоненты упорядоченных пар вида (x;f(x)).
Теперь становится совершенно очевидно, что если функции f и g взаимно обратны, то D(f)=E(g) и E(f)=D(g), т.е. при переходе от данной функции к обратной области определения и значения меняются местами.
Определение. Функции f и g называются взаимно обратными, если D(f)=E(g), E(f)=D(g), а также для любого x\in D(f)\; g(f(x))=x и для любого x\in D(g)\; f(g(x))=x.
Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Докажите, что:
1) \displaystyle \textrm{arcsin} 0=0;
2) \displaystyle \textrm{arcsin} \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6};
3) \displaystyle \textrm{arcsin} \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4};
4) \displaystyle \textrm{arcsin} \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3};
5) \displaystyle \textrm{arcsin} \left ( - \frac{1}{2}\right )=-\frac{\pi }{6};
6) \displaystyle \textrm{arcsin} (- 1)=-\frac{\pi }{2}.
2. Является ли верным равенство:
1) \displaystyle \textrm{arcsin}\pi =0;
2) \displaystyle \textrm{arcsin}(-1) =\frac{3\pi }{2};
3) \displaystyle \textrm{arcsin} \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2};
4) \displaystyle \textrm{arcsin}1+ \textrm{arcsin}\left ( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{\pi }{6};
5) \displaystyle \textrm{arcsin}\frac{1}{2}+ \textrm{arcsin}\left ( -\frac{1}{2} \right )=0;
6) \displaystyle \textrm{arcsin}1\cdot \textrm{arcsin}\frac{1}{2} =\frac{\pi ^{2}}{12};
7) \displaystyle \left ( \textrm{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2} =\frac{\pi ^{2}}{16}.
3. Докажите, что:
1) \displaystyle \textrm{arccos}0=\frac{\pi }{2};
2) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{1}{2}=\frac{\pi }{3};
3) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4};
4) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6};
5) \displaystyle \textrm{arccos}\left ( -\frac{1}{2} \right )=\frac{2\pi }{3};
6) \displaystyle \textrm{arccos} ( -1 )=\pi .
4. Является ли верным равенство:
1) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3};
2) \displaystyle \textrm{arccos}0=-\frac{\pi }{2};
3) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{\pi }{2}=0;
4) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2};
5) \displaystyle \textrm{arccos}\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )+\textrm{arccos}\frac{\sqrt{2}}{2}=\pi;
6) \displaystyle \textrm{arccos}\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \textrm{arccos}\left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{\pi ^{2}}{12};
7) \displaystyle \textrm{arccos}^{2}\left ( \frac{-\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{25\pi ^{2}}{36}.
5. Докажите, что:
1) \displaystyle \textrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6};
2) \displaystyle \textrm{arctg}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3};
3) \displaystyle \textrm{arctg}1=\frac{\pi }{4};
4) \displaystyle \textrm{arcctg}\, 0=\frac{\pi }{2};
5) \displaystyle \textrm{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6};
6) \displaystyle \textrm{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6};
7) \displaystyle \textrm{arcctg}\, (-x)=\pi -\textrm{arcctg}\, x;
8) \displaystyle \textrm{arctg}\, (-x)= -\textrm{arctg}\, x.
6. Является ли верным равенство:
1) \displaystyle \textrm{arctg}\, 0= \pi ;
2) \displaystyle \textrm{arctg}\, (-1)=\frac{3\pi }{4} ;
3) \displaystyle \textrm{arcctg}\, \frac{\pi }{2}=0 ;
4) \displaystyle \textrm{arctg}\, \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} ;
5) \displaystyle \textrm{arctg}\, 1+\textrm{arctg}\, \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\pi}{12} ;
6) \displaystyle \textrm{arctg}\, \sqrt{3}+\textrm{arcctg}\, (-1)=\frac{\pi}{12} ;
7) \displaystyle \textrm{arctg}\, \frac{\sqrt{3}}{3}+\textrm{arcctg}\, \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{2}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

11 + 2 =