Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №34
Определение 1. Функция называется обратимой, если для любого найдется единственное такое, что .
Иначе: функция называется обратимой, если она принимает каждое свое значение ровно один раз.
Определение 2. Функция называется обратимой на множестве , если для любых и ,
Теорема (достаточное условие обратимости). Если функция возрастает (убывает) на множестве , то она обратима на этом множестве.
Определение (описательное). Пусть — обратимая функция. Для каждого из области определения найдем соответствующее значение функции. Рассмотрим множество упорядоченных пар вида , т.е. . Множество первых компонентов пар — это область определения функции, множество вторых компонентов — это область значений функции. Среди этих пар нет таких, у которых равны первые компоненты, потому что — функция. Среди этих пар нет и таких, у которых равны вторые компоненты, потому что — обратимая функция. Поменяем местами компоненты пар, получим множество пар вида с неравными первыми компонентами. Тогда это множество, в свою очередь, задает функцию. Эту функцию будем называть обратной данной. Также вновь построенную функцию и данную будем называть взаимно обратными.
Итак, чтобы из данной обратимой функции получить обратную ей, надо поменять местами компоненты упорядоченных пар вида .
Теперь становится совершенно очевидно, что если функции и взаимно обратны, то и , т.е. при переходе от данной функции к обратной области определения и значения меняются местами.
Определение. Функции и называются взаимно обратными, если , , а также для любого и для любого .
Теорема. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .
Полный урок смотрите в следующем видео:
Домашнее задание:
1. Докажите, что:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2. Является ли верным равенство:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
3. Докажите, что:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4. Является ли верным равенство:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
5. Докажите, что:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
6. Является ли верным равенство:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)