Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований. Видеоурок №40

Построение графиков тригонометрических функций с помощью преобразований. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №40

Пример 1. Построить график функции $\displaystyle y=\sin \left ( \left | x \right | -\frac{\pi }{4}\right )$.
Решение.
Подвергнем график функции $y=\sin x$ параллельному переносу вдоль оси абсцисс на $\displaystyle \frac{\pi }{4}$ единиц в положительном направлении. Получим график $\displaystyle y=\sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )$. Затем ту часть графика, которая лежит в полуплоскости $x\geq 0$, симметрично отразим относительно оси ординат. Объединение симметричных частей и будет искомым графиком .

Замечание. Широко распространена следующая ошибка: вначале построить график функции $y=\sin \left | x \right |$. Затем считать, что искомый график получается в результате параллельного переноса графика $y=\sin \left | x \right |$ вдоль оси абсцисс в положительном направлении на $\displaystyle \frac{\pi }{4}$ единицы. На самом деле такие преобразования приведут к графику функции $\displaystyle y=\sin \left | x-\frac{\pi }{4} \right |$ .

Пример 2. Построить график функции $\displaystyle y=\sin \left |2 x-\frac{\pi }{3} \right |$.
Решение.
Проведем следующие преобразования:
1) $\displaystyle y=\sin x\rightarrow y=\sin \left | x \right |;$
2) $\displaystyle y=\sin \left | x \right |\rightarrow y=\sin \left | 2x \right |$ — сжатие к оси ординат в два раза;
3) $\displaystyle y=\sin \left | 2x \right | \rightarrow y=\sin \left | 2\left ( x-\frac{\pi }{6} \right ) \right |$ — параллельный перенос вдоль оси абсцисс в положительном направлении на $\displaystyle \frac{\pi }{6}$ единиц.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Постройте график функции:
1) $\displaystyle y=\sin (\left | x \right |+1);$
2) $\displaystyle y=-\frac{1}{2}\sin \left ( \left | x \right |+\frac{\pi }{4} \right );$
3) $\displaystyle y=2\cos \left ( \left | x \right |-\frac{\pi }{3} \right )-1.$
2. Постройте график функции:
1) $\displaystyle y=-2\sin \left | \frac{1}{2}x -1\right |;$
2) $\displaystyle y=2\cos \left | 3x +2\right |;$
3) $\displaystyle y=\arccos \left | 2x +1\right |.$
3. Постройте график функции:
1) $\displaystyle y=-2\sin \left ( \frac{1}{2}\left | x \right | -1\right );$
2) $\displaystyle y=2\cos \left ( 3\left | x \right | +2\right );$
3) $\displaystyle y=\frac{1}{2}\cos \left ( 2\left | x \right | +\frac{\pi }{3}\right );$
4) $\displaystyle y=\arccos (2\left | x \right |+1);$
5) $\displaystyle y=\arcsin (\frac{1}{2}\left | x \right |-1).$
4. Постройте график функции:
1) $\displaystyle y=\left | \sin x \right |;$
2) $\displaystyle y=\left | \textrm{tg} x \right |;$
3) $\displaystyle y=\left | \textrm{ctg} x \right |;$
4) $\displaystyle y=\left | \arcsin x \right |;$
5) $\displaystyle y=\left | \sin \left ( x-\frac{\pi }{3} \right ) \right |;$
6) $\displaystyle y=\left | \cos \left ( x+\frac{\pi }{4} \right ) \right |;$
7) $\displaystyle y=\left | \cos x-\frac{1}{2} \right |;$
8) $\displaystyle y=\left | \sin x-\frac{1}{3} \right |.$
5. Постройте график функции:
1) $\displaystyle y=\left | \cos \left | 2x -\frac{\pi }{3} \right | \right |;$
2) $\displaystyle y=2\left | \sin \left | \frac{1}{2}x -1 \right | \right |;$
3) $\displaystyle y=3\left | \cos \left | 3x -1 \right | \right |-1.$