Решение упражнений на обратные тригонометрические функции. Видеоурок №36

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №36
Определение (описательное). Функция $f(x)=\sin x$ обратимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусственной области определения $\displaystyle D(f)=\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$. На этом множестве функция $f$ — возрастающая, следовательно, обратимая. Функция, обратная функции $\displaystyle f(x)=\sin x,\; D(f)=\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ],$ называется арксинусом и обозначается $g(x)=\textrm{arcsin}\, x$.
Итак, $g(x)=\textrm{arcsin}\, x$ — это функция, обратная функции $f(x)=\sin x$ на промежутке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$.
Определение. Арксинусом числа $a$ называется такое число $b$ из отрезка $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$, синус которого равен $a$.

Определение (описательное). Функция $f(x)=\cos x$ обратимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусственной области определения $D(f)=\left [ 0;\pi \right ]$. На этом интервале функция $f$ — убывающая, а следовательно, обратима. Функция, обратная функции $f(x)=\cos x;\: D(f)=\left [ 0;\pi \right ]$, называется арккосинусом и обозначается $g(x)=\textrm{arccos}\, x$.

Итак, $g(x)=\textrm{arccos}\, x$ — это функция, обратная функции $f(x)=\cos x$ на промежутке $\left [ 0;\pi \right ]$.
Определение. Арккосинусом числа $a$ называется такое число $b$ из отрезка $\left [ 0;\pi \right ]$, косинус которого равен $a$.

Определение (описательное). Функция $f(x)=\textrm{tg}\, x$ обратимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусственной области определения $\displaystyle D(f)=\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$. На этом множестве функция $f$ возрастает, а следовательно, обратима. Функция, обратная функции $f(x)=\textrm{tg}\, x$, $\displaystyle D(f)=\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$, называется арктангенсом и обозначается $g(x)=\textrm{arctg}\, x$.
Итак, $g(x)=\textrm{arctg}\, x$ — это функция, обратная функции $f(x)=\textrm{tg}\, x$ на промежутке $\displaystyle D(f)=\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$.

Определение. Арктангенсом числа $a$ называется такое число $b$ из промежутка $\displaystyle \left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$, тангенс которого равен $a$.

Определение. Функция, обратная функции $f(x)=\textrm{ctg}\, x,\; D(f)=(0;\pi )$, называется арккотангенсом и обозначается $g(x)=\textrm{arcctg}\, x$.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Вычислить:
1) $\displaystyle \cos (\arccos \frac{1}{3});$
2) $\displaystyle \sin (\arcsin \frac{3}{4});$
3) $\displaystyle \textrm{tg}(\textrm{arctg}4);$
4) $\displaystyle \textrm{ctg}(\textrm{arcctg}5);$
5) $\displaystyle \cos \left ( \arccos \frac{\pi }{4} \right );$
6) $\displaystyle \sin \left ( \arcsin \frac{\pi }{6} \right );$
7) $\displaystyle \textrm{tg} \left ( \textrm{arctg} \frac{\pi }{2} \right ).$
2. Вычислить:
1) $\displaystyle \arcsin \left ( \sin \frac{\pi }{7} \right );$
2) $\displaystyle \arccos \left ( \cos \frac{2\pi }{9} \right );$
3) $\displaystyle \textrm{arctg} \left (\textrm{ tg} \frac{5\pi }{13} \right );$
4) $\displaystyle \textrm{arcctg} \left (\textrm{ ctg} \frac{4\pi }{11} \right );$
5) $\displaystyle \arcsin \left ( \sin \frac{4\pi }{7} \right );$
6) $\displaystyle \textrm{arcctg} \left ( \textrm{ctg} \frac{2\sqrt{3} }{3} \right );$
7) $\displaystyle \arccos \left ( \cos \frac{11\pi }{9} \right );$
8) $\displaystyle \textrm{arctg} \left ( \textrm{tg} \frac{10\pi }{13} \right ).$
3. Вычислить:
1) $\displaystyle \arcsin \left ( \cos \frac{2}{17} \right );$
2) $\displaystyle \arccos \left ( \sin \frac{3}{14} \right );$
3) $\displaystyle \textrm{arctg}\left ( \textrm{ctg}\frac{\sqrt{2}}{2} \right );$
4) $\displaystyle \textrm{arcctg}\left ( \textrm{tg}\frac{\sqrt{10}}{4} \right );$
5) $\displaystyle \arcsin \left ( \cos \frac{\pi }{8} \right );$
6) $\displaystyle \arccos \left ( \sin \frac{\pi }{11} \right );$
7) $\displaystyle \arcsin (\cos 8);$
8) $\displaystyle \arccos (\sin 12).$
4. Вычислить:
1) $\displaystyle \cos \left ( \arcsin \frac{4}{5} \right );$
2) $\displaystyle \sin \left ( \arccos \frac{1}{3} \right ).$