Решение упражнений на обратные тригонометрические функции. Видеоурок №37

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №37
Определение (описательное). Функция $f(x)=\sin x$ обратимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусственной области определения $\displaystyle D(f)=\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$. На этом множестве функция $f$ — возрастающая, следовательно, обратимая. Функция, обратная функции $\displaystyle f(x)=\sin x,\; D(f)=\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ],$ называется арксинусом и обозначается $g(x)=\textrm{arcsin}\, x$.
Итак, $g(x)=\textrm{arcsin}\, x$ — это функция, обратная функции $f(x)=\sin x$ на промежутке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$.
Определение. Арксинусом числа $a$ называется такое число $b$ из отрезка $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$, синус которого равен $a$.

Определение (описательное). Функция $f(x)=\cos x$ обратимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусственной области определения $D(f)=\left [ 0;\pi \right ]$. На этом интервале функция $f$ — убывающая, а следовательно, обратима. Функция, обратная функции $f(x)=\cos x;\: D(f)=\left [ 0;\pi \right ]$, называется арккосинусом и обозначается $g(x)=\textrm{arccos}\, x$.

Итак, $g(x)=\textrm{arccos}\, x$ — это функция, обратная функции $f(x)=\cos x$ на промежутке $\left [ 0;\pi \right ]$.
Определение. Арккосинусом числа $a$ называется такое число $b$ из отрезка $\left [ 0;\pi \right ]$, косинус которого равен $a$.

Определение (описательное). Функция $f(x)=\textrm{tg}\, x$ обратимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусственной области определения $\displaystyle D(f)=\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$. На этом множестве функция $f$ возрастает, а следовательно, обратима. Функция, обратная функции $f(x)=\textrm{tg}\, x$, $\displaystyle D(f)=\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$, называется арктангенсом и обозначается $g(x)=\textrm{arctg}\, x$.
Итак, $g(x)=\textrm{arctg}\, x$ — это функция, обратная функции $f(x)=\textrm{tg}\, x$ на промежутке $\displaystyle D(f)=\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$.

Определение. Арктангенсом числа $a$ называется такое число $b$ из промежутка $\displaystyle \left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$, тангенс которого равен $a$.

Определение. Функция, обратная функции $f(x)=\textrm{ctg}\, x,\; D(f)=(0;\pi )$, называется арккотангенсом и обозначается $g(x)=\textrm{arcctg}\, x$.

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Вычислить:
1) $\sin (\textrm{arctg}2);$
2) $\cos (\textrm{arctg}2);$
3) $\sin (\textrm{arcctg}(-2));$
4) $\sin (\textrm{arctg}(-3)).$
2. Вычислить:
1) $\displaystyle \textrm{tg}\left ( \arccos\frac{1}{3} \right );$
2) $\displaystyle \textrm{tg}\left ( \arcsin\frac{3}{4}+\frac{3\pi }{2} \right );$
3) $\displaystyle \textrm{tg}\left ( \arccos\left ( -\frac{1}{4} \right ) \right );$
4) $\displaystyle \textrm{ctg}\left ( \arcsin\left ( -\frac{1}{4} \right ) \right ).$
3. Доказать, что:
1) $\displaystyle \arcsin \frac{3}{5}+\arcsin \frac{5}{13}=\arcsin \frac{56}{65};$
2) $\displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{2}+\textrm{arctg}\frac{1}{3}=\frac{\pi }{4};$
3) $\displaystyle \textrm{arcctg}\frac{3}{4}+\textrm{arcctg}\frac{1}{7}=\frac{3\pi }{4}.$